Le résultant multivarié, entre algèbre et combinatoire : fondements pour enfants motivés

Le présent livre propose de revisiter une théorie étudiée depuis plusieurs siècles : celle du résultant multivarié. Dans le cadre plus général de la théorie de l'élimination, y sont associés des noms célèbres comme Bezout, Poisson, Sylvester, Cayley, Macaulay. De manière bien plus récente, il convient de citer, en France du moins, les nombreuses publications de Jean-Pierre Jouanolou, ainsi qu'un article fondateur de Michel Demazure (destiné initialement au traité de Bourbaki).

Les auteurs ont souhaité présenter un ouvrage self-contained et le plus élémentaire possible, sans renoncer pour autant à certaines notions structurelles indispensables. Le point de vue adopté est purement algébrique, si bien qu'aucun prérequis de Géométrie algébrique n'est nécessaire.

La théorie de la profondeur, la théorie des résolutions libres finies, en particulier la notion de structure multiplicative (en général absente des ouvrages à l'exception de celui de Northcott et de Coquand-Lombardi), la notion de déterminant de Cayley d'un complexe, sont omniprésentes dans ce travail. Pour cette raison, Claude Quitté et Claire Tête ont consacré plusieurs chapitres permettant de prendre en charge leurs fondements ; les traitements y sont simplifiés au maximum et largement illustrés par de nombreux exemples. Les énoncés explicites et les preuves détaillées sont privilégiés.

L'objet de base étudié est un système P de n polynômes homogènes en n variables, à coefficients dans un anneau commutatif, ayant un format de degrés (d₁,..., d_n) spécifié. Il s'agit en particulier d'étudier tout ce qui gravite autour du résultant de P, en particulier d'en fournir plusieurs définitions/constructions, d'en donner les propriétés habituelles en accompagnant celles-ci d'exemples pertinents.

Le complexe de Koszul de P y joue un rôle primordial, et les composantes homogènes de ce complexe donnent naissance à de multiples applications linéaires entre modules libres de dimension finie, une des plus connues étant l'application de Sylvester de P.

Les auteurs ont voulu insister sur le format de degrés (d₁,..., d_n) à l'origine d'une combinatoire monomiale particulière, ce qui leur a permis de dégager un certain nombre d'idéaux monomiaux et d'étudier de manière minutieuse la décomposition de Macaulay du complexe de Koszul de P. Ils ont pu ainsi mettre le doigt sur des relations étonnantes (dont certaines ne figurent pas dans la littérature actuelle) permettant ainsi de retrouver (et généraliser) les célèbres formules attribuées à Macaulay.

Ce travail est susceptible d'intéresser ceux qui connaissent déjà le sujet, mais également les étudiants souhaitant se former en algèbre commutative, tout en découvrant un certain nombre de notions nouvelles dans l'orbite du résultant.